lunes, 10 de mayo de 2010

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INTRODUCCIÓN

El Triángulo de Pascal, también llamado Triángulo Aritmético o Rectángulo de Tartaglia, es uno de los modelos numéricos más famosos de la historia de la Matemática., una disposición numérica de sencilla construcción que constituye una gran fuente de riquezas matemáticas y posee interesantes propiedades.

Las primeras descripciones de este triángulo datan del 1100 d.C., durante la Edad Media Oriental, con matemáticos chinos que posiblemente se basaron en fuentes indias y chinas más antiguas. En ese año, el matemático Chia Hsien lo define como Sistema de Tabulación para calcular coeficientes de binomios, dada la correspondencia que existe entre el Triángulo de Pascal y los coeficientes del desarrollo del binomio de Newton. Ese fue el origen de diversos estudios sobre este triángulo en este parte del mundo, pero no fue hasta la segunda mitad del s. XVI que fue dado a conocer en Europa, con el matemático alemán Michael Stifel y su obra Arithmetica integra (1544).

Posteriormente, entre 1556 y 1560, el estudio de una disposición numérica similar aparece en las obras del matemático italiano Niccolo Fontana, también conocido como Tartaglia.

Blaise Pascal, el gran matemático, físico y filósofo francés, es el primero en relacionar rigurosamente el Teorema del Binomio con los números combinatorios, y publicó en 1665 un tratado en el cual deduce nuevas propiedades y aplicaciones del triángulo aritmético a la Teoría Combinatoria. En honor a sus aportes fue que el matemático escocés George Chrystal, en 1886, lo denomina Triángulo de Pascal en su obra Algebra.

A lo largo de las entredas del Blog sobre este tema se irán presentando preguntas y actividades a realizar. La idea de las mismas es que luego de ser realizadas (o de haber alcanzado algún resultado) se publiquen como comentarios para ir construyendo el tema entre todos.

domingo, 9 de mayo de 2010

Construcción del Triángulo de Pascal





En este video encontraremos a Adrián Paenza hablándonos de la construcción del Triángulo de Pascal e introduciendo algunas de sus propiedades. El estudio de este triángulo en el aula con los alumnos puede resultar como una interesante forma de introducir los números combinatorios, entre otros temas.

sábado, 8 de mayo de 2010

Descubriendo Propiedades... (I)

Observando el triángulo de Pascal, su construcción, y los comentarios que aqui aparecen, intenta responder las preguntas o realizar las actividades propuestas...
  1. Comenzando a contar desde cero, las líneas o filas se enumeran de arriba hacia abajo; y las columns y las diagonales, de izquierda a derecha. Por ejemplo, el elemento que está en la fila 4 y la columna 2 es el 6, que a su vez forma parte de la tercera diagonal. Generalizando... ¿por cuántos términos está formada la fila "n"?
  2. Elige un valor de"n" (n es un número natural) y suma los términos de la fila "n". Luego, suma los términos de la fila "n+1". ¿Qué relación observas entre estos dos resultados?
  3. Ahora suma los términos de las primeras "n" filas. ¿Encuentras alguna regularidad?
  4. En conclusión, la suma de los términos de la n-ésima fila del triángulo de Pascal es ...



viernes, 7 de mayo de 2010

Descubriendo propiedades... (II)

Como es fácil de ver, la primera diagonal del triángulo de Pascal está formada por unos (1). Ahora continuemos observando las siguientes diagonales...
  1. ¿Cuáles son los números que forman la segunda diagonal?
  2. ¿Cuáles son los números que forman la tercera diagonal?
  3. Si sumamos dos elementos consecutivos de la tercera diagonal... ¿cuáles son los números particulares que obtenemos?
  4. ¿Cuáles son los números que forman la cuarta diagonal?


Averigua cuáles son los números triangulares y los números tetraédricos... ¿qué relación tienen ellos con este triángulo?

jueves, 6 de mayo de 2010

Descubriendo propiedades... (III)

Una propiedad que no fue descubierta hasta fines del siglo XIX es que con la suma de los términos de las diagonales de menor pendiente se obtiene una sucesión muy conocida. Intenta obtener sus primeros términos; puedes tener en cuenta el siguiente diagrama:










¿Ya descubriste cuál es?

Si, es la sucesión de Fibonacci, cuyos primeros términos son: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ....

  • Intenta descubrir cómo se forma esta sucesión sin tener en cuenta el triángulo de Pascal.

Como sugerencia, puedes tener en cuenta la siguiente pregunta:
¿encuentras alguna particularidad que caracterice a cada término de la sucesión en relación a los términos anteriores?

miércoles, 5 de mayo de 2010

Fractales en el Triángulo de Pascal

Comencemos por investigar cómo se distribuyen los números pares e impares en el triángulo de Pascal. Sin tener en cuenta el valor de los números que lo forman, se puede averiguar de forma sencilla si un número del triángulo será par o impar, teniendo en cuenta que:


  • La suma de dos números pares es un número par

  • La suma de dos números impares es un número par

  • La suma de un número par y otro impar es un número impar

Para ver la pauta que siguen, nos ayudaremos de un diagrama del triángulo en el que no escribimos los números que corresponden a cada casilla sino que pintamos de negro o blanco según el número que corresponda a esa casilla sea impar o par respectivamente.


Inténtalo, realizando un diagrama con las primeras 16 filas.